Minggu, Oktober 28, 2012

Pembahasan soal Kalkulus Purcell Bab 1 sub bab 6

Semua yang sedang terjadi dalam hidup kita adalah adalah suatu ketentuan dari Allah, kadang kita tidak menyadari bahwa itulah yang terbaik untuk kita, selalu ada hikmah tersembunyi di balik setiap kejadian.

Allah berfirman melalui hadits qudsinya:
"Barang siapa yang tidak menerima ketentuan yang Aku tetapkan, tidak bersyukur atas nikmat yang Aku berikan, dan tidak sabar terhadap ujian yang Aku timpakan, silakan keluar dari kolong langitKu dan cari tuhan selain Aku."

Begitu marahnya Allah jika kita tidak menerima suatu ketentuan yang telah ditetapkan Allah. Kadang kita berfikir kita mempunyai sesuatu kekurangan dari diri kita dibandingkan orang lain, tapi kita tidak pernah berfikir untuk mengembangkan potensi yang merupakan suatu kelebihan dari diri kita.

Sering kita berkata mengapa saya miskin sementara orang lain kaya? Mengapa wajah saya pas-pasan sementara orang lain cantik/gagah? Mengapa saya punya IQ rendah sementara orang lain punya IQ tinggi. Mengapa saya cacat sementara orang lain normal? Sampai-sampai kita mengatakan bahwa Allah itu tidak adil? Astagfirullahal’azim..Na’uzubillahi min zalik (Kita berlindung dari hal yang demikian)Kita cuma bilang mengapa saya begini sementara orang lain begitu?

Seharusnya kita menyadari bahwa di balik kekurangan kita ada kelebihan yang diberi oleh Allah, dan Allahpun juga menilai kita dari usaha yang kita lakukan…, mungkin video di samping bisa menjadi penyemangat hidup bagi teman semua…

Masak semangat hidup kita bisa kalah dari orang cacat? Orang cacat saja bersyukur dan berprestasi…


SOAL-SOAL 1.6________________________________________________________________________________
    Dalam Soal-soal 1-8, cari kemiringan dari garis yang mengandung dua titik yang diberikan
  1. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 1 oleh sahabat-informasi.com
    (2,3) dan (4,8)
    Penyelesaian:
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (2,3) dan (4,8) adalah:
  2. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 2 oleh sahabat-informasi.com
    (4,1) dan (8,2)
    Penyelesaian:
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (4,1) dan (8,2) adalah:
  3. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 3 oleh sahabat-informasi.com
    (– 4,2) dan (3,0)
    Penyelesaian:
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (– 4,2) dan (3,0) adalah:
  4. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 4 oleh sahabat-informasi.com
    (2,–4) dan (0,–6)
    Penyelesaian:
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (2,–4) dan (0,–6) adalah:
  5. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 5 oleh sahabat-informasi.com
    (3,0) dan (0,5)
    Penyelesaian:
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (3,0) dan (0,5) adalah:
  6. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 6 oleh sahabat-informasi.com
    (–6,0) dan (0,6)
    Penyelesaian:
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (–6,0) dan (0,6) adalah:
  7. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 7 oleh sahabat-informasi.com
    (– 1,732; 5,014) dan (4,315; 6,175)
    Penyelesaian:
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (– 1,732; 5,014) dan (4,315; 6,175) adalah:
  8. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 8 oleh sahabat-informasi.com

    Penyelesaian:
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

  9. Dalam Soal-soal 9-16, cari sebuah persamaan untuk tiap garis. Kemudian tuliskan jawab anda dalam bentuk Ax + Bx + C = 0.
  10. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 9 oleh sahabat-informasi.com
    Melalui (2,3) dengan kemiringan 4
    Penyelesaian:
    Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik dengan kemiringan m mempunyai persamaan:
    yy1 = m (xx1),
    maka persamaan garis yang melalui titik (2,3) dengan kemiringan 4 adalah:
    yy1 = m (xx1)
    y – 3 = 4 (x – 2)
    y – 3 = 4x – 8
    4xy – 5 = 0
  11. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 10 oleh sahabat-informasi.com
    Melalui (3, –4) dengan kemiringan –2
    Penyelesaian:
    Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik dengan kemiringan m mempunyai persamaan:
    yy1 = m (xx1),
    maka persamaan garis yang melalui titik (3, –4) dengan kemiringan –2 adalah:
    yy1 = m (xx1)
    y – (-4) = - 2 (x – 3)
    y + 4 = - 2x + 6
    2x + y – 2 = 0
  12. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 11 oleh sahabat-informasi.com
    Dengan perpotongan –y 4 dan kemiringan – 2
    Penyelesaian:
    Perpotongan –y 4 artinya perpotongan pada garis y = 4 di sumbu y, berarti sama artinya dengan perpotongan di titik (0,4). Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik dengan kemiringan m mempunyai persamaan: yy1 = m (xx1),
    maka persamaan garis yang melalui titik (0,4) dengan kemiringan – 2 adalah:
    yy1 = m (xx1)
    y – 4 = – 2 (x – 0)
    y – 4 = – 2x
    2x + y – 4 = 0
  13. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 12 oleh sahabat-informasi.com
    Dengan perpotongan –y 5 dan kemiringan – 2
    Penyelesaian:
    Perpotongan –y 5 artinya perpotongan pada garis y = 5 di sumbu y, berarti sama artinya dengan perpotongan di titik (0,5). Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik dengan kemiringan m mempunyai persamaan: yy1 = m (xx1),
    maka persamaan garis yang melalui titik (0,5) dengan kemiringan – 2 adalah:
    yy1 = m (xx1)
    y – 5 = – 2 (x – 0)
    y – 5 = – 2x
    2x + y – 5 = 0
  14. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 13 oleh sahabat-informasi.com
    Melalui (2,3) dan (4,8)
    Penyelesaian:
    Kita akan cari dulu berapa kemiringannya,
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (2,3) dan (4,8) adalah:

    Selanjutnya kita akan menggunakan sebuah titik dari dua titik yang telah tersedia, kita akan gunakan saja titik (2,3) Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik dengan kemiringan m mempunyai persamaan: yy1 = m (xx1),
    maka persamaan garis yang melalui titik (2,3) dengan kemiringan 5/2 adalah:
  15. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 14 oleh sahabat-informasi.com
    Melalui (4,1) dan (8,2).
    Penyelesaian:
    Kita akan cari dulu berapa kemiringannya,
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (4,1) dan (8,2) adalah:

    Didapat kemiringan dari garis yang melalui titik (4,1) dan (8,2) adalah 1/4.
    Selanjutnya kita akan menggunakan sebuah titik dari dua titik yang telah tersedia, kita akan gunakan saja titik (4,1) Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik dengan kemiringan m mempunyai persamaan: yy1 = m (xx1),
    maka persamaan garis yang melalui titik (4,1) dengan kemiringan 1/4 adalah:
  16. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 15 oleh sahabat-informasi.com
    Melalui (2, –3 ) dan (2,5).
    Penyelesaian:
    Lihat pembahasan pada halaman 34!
    Garis yang melalui dua ordinat yang sama tidak mempunyai kemiringan, atau garis yang melalui dua koordinat x yang sama tidak mempunyai kemiringan.
    Jadi persamaan garisnya adalah:
    x = k, dimana k adalah ordinat atau koordinat x
    Jadi persamaan garis yang melalui titik (2, –3 ) dan (2,5) adalah x = 2 atau x – 2 = 0
  17. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 16 oleh sahabat-informasi.com
    Melalui (– 5,0 ) dan (– 5,4).
    Penyelesaian:
    Lihat pembahasan pada halaman 34!
    Garis yang melalui dua ordinat yang sama tidak mempunyai kemiringan, atau garis yang melalui dua koordinat x yang sama tidak mempunyai kemiringan.
    Jadi persamaan garisnya adalah:
    x = k, dimana k adalah ordinat atau koordinat x
    Jadi persamaan garis yang melalui titik (- 5,0) dan (- 5,4) adalah x = -5 atau x + 5 = 0

  18. Dalam Soal-soal 17-20, carilah kemiringan dan perpotongan –y untuk tiap garis.
  19. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 17 oleh sahabat-informasi.com
    3y = 2x – 4
    Penyelesaian:

    Dapat dilihat bahwa koefisien dari x merupakan kemiringan dari garis, jadi kemiringan garis 3y = 2x – 4 adalah 2/3.

    Mencari perpotongan-y (titik potong dengan sumbu y)
    Suatu garis akan berpotongan dengan sumbu y saat ordinatnya 0, jika x = 0, maka:
  20. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 18 oleh sahabat-informasi.com
    2y = 5x + 2
    Penyelesaian:

    Kemiringan garis 2y = 5x + 2 adalah 5/2.

    Mencari perpotongan-y (titik potong dengan sumbu y)
    Suatu garis akan berpotongan dengan sumbu y saat ordinatnya 0, jika x = 0, maka:
  21. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 19 oleh sahabat-informasi.com
    2x + 3y = 6
    Penyelesaian:

    Kemiringan garis 2x + 3y = 6 adalah –2/3.

    Mencari perpotongan-y (titik potong dengan sumbu y)
    Suatu garis akan berpotongan dengan sumbu y saat ordinatnya 0, jika x = 0, maka:
  22. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 20 oleh sahabat-informasi.com
    4x + 5y = – 20
    Penyelesaian:

    Kemiringan garis 4x + 5y = - 20 adalah –4/5.

    Mencari perpotongan-y (titik potong dengan sumbu y)
    Suatu garis akan berpotongan dengan sumbu y saat ordinatnya 0, jika x = 0, maka:
  23. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 21 oleh sahabat-informasi.com
    Tuliskan persamaan garis melalui (3,−3) yang:
    1. sejajar garis y = 2x + 5;
    2. tegak lurus garis y = 2x + 5;
    3. sejajar garis 2x + 3 y = 6;
    4. tegak lurus garis 2x + 3 y = 6;
    5. tegak lurus garis yang melalui (−1,2) dan (3,−1)
    6. sejajar garis x = 8
    7. tegak lurus garis x = 8
    Penyelesaian:
    1. persamaan garis melalui (3,−3) yang sejajar dengan garis y = 2x + 5
    2. Garis y = 2x + 5 mempunyai kemiringan 2, garis yang sejajar mempunyai kemiringan yang sama, selanjutnya akan dicari persamaan garis dengan kemiringan 2 yang melalui (3,−3).
    3. persamaan garis melalui (3,−3) yang tegak lurus garis y = 2x + 5
    4. Dua garis yang saling tegak lurus mempunyai hasil kali dari kedua kemiringan garis tersebut yang bernilai −1. Misalkan garis yang pertama mempunyai kemiringan m1 dan garis kedua mempunyai kemiringan m2. Garis pertama dan garis kedua akan saling tegak lurus bila m1 x m2 = –1.
      Garis y = 2x + 5 mempunyai kemiringan 2, maka garis yang tegak lurus dengan garis y = 2x + 5 adalah garis yang mempunyai kemiringan –1/2, sebab jika m1 = 2 dan m2 = –1/2, maka terpenuhi m1 x m2 = –1.
      Persamaan garis melalui titik (3,–3) dengan kemiringan –1/2 adalah:
    5. persamaan garis melalui (3,−3) yang sejajar garis 2x + 3 y = 6
    6. Garis 2x + 3 y = 6 mempunyai kemiringan –2/3, garis yang sejajar mempunyai kemiringan yang sama, selanjutnya akan dicari persamaan garis dengan kemiringan –2/3 yang melalui (3,–3).
    7. persamaan garis melalui (3,−3) yang tegak lurus garis 2x + 3 y = 6
    8. Dua garis yang saling tegak lurus mempunyai hasil kali dari kedua kemiringan garis tersebut yang bernilai –1. Misalkan garis yang pertama mempunyai kemiringan m1 dan garis kedua mempunyai kemiringan m2. Garis pertama dan garis kedua akan saling tegak lurus bila m1 x m2 = –1. Garis 2x + 3 y = 6 mempunyai kemiringan –2/3, maka garis yang tegak lurus dengan garis 2x + 3 y = 6 adalah garis yang mempunyai kemiringan 3/2, sebab jika m1 = –2/3 dan m2 = 3/2, maka terpenuhi m1 x m2 = –1. Persamaan garis melalui titik (3,–3) dengan kemiringan 3/2 adalah:

      Jadi persamaan garis melalui (3,–3) yang sejajar dengan garis 2x + 3 y = 6 adalah 3x – 2y – 15 = 0
    9. persamaan garis melalui (3,−3) yang sejajar dengan garis yang melalui (−1,2) dan (3,−1)
    10. Kita akan mencari dulu persamaan garis melalui (–1,2) dan (3,–1)
      Kemiringan dari garis melalui (–1,2) dan (3,–1) adalah:

      Persamaan garis melalui titik (–1,2) dengan kemiringan – 3/4 adalah:

      Garis 3x + 4y – 5 = 0 mempunyai kemiringan –3/4. Garis yang sejajar mempunyai kemiringan yang sama, selanjutnya akan dicari persamaan garis dengan kemiringan –3/4 yang melalui (3,–3).

      Jadi persamaan garis melalui (3,–3) yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 5 = 0 adalah 3x + 4y + 3 = 0
    11. persamaan garis melalui (3,−3) yang sejajar garis x = 8
    12. Garis x = 8 tidak memiliki kemiringan, garis x = k akan saling sejajar untuk setiap nilai k.
      Jadi garis melalui (3,–3) yang sejajar dengan garis x = 8 adalah garis x = 3 atau x – 3 = 0
    13. persamaan garis melalui (3,−3) yang tegak lurus garis x = 8
    14. Garis x = 8 tidak memiliki kemiringan, garis x = k akan tegak lurus dengan garis y = l untuk setiap nilai l.
      Jadi garis melalui (3,–3) akan tegak lurus dengan garis y = –3 atau y + 3 = 0
  24. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 22 oleh sahabat-informasi.com
    Cari nilai k untuk mana garis 4x + ky = 5
    1. melalui titik (2,1);
    2. sejajar sumbu y;
    3. sejajar garis 6x – 9y = 10;
    4. mempunyai perpotongan–x dan y sama;
    5. tegak lurus pada garis y – 2 = 2 (x + 1).
    Penyelesaian:
    1. Garis 4x + ky = 5 melalui titik (2,1);
    2. Cukup dengan mesubstitusikan nilai x dan y ke persamaan garis.

      Jadi garis 4x + ky = 5 akan melalui titik (2,1) jika k = –3
    3. Garis 4x + ky = 5 sejajar dengan sumbu y.
      Garis yang sejajar dengan sumbu y adalah garis yang mempunyai persamaan x = k, dengan k adalah sebuah bilangan riil. x = k akan diperoleh apabila persamaan garis tidak mempunyai variabel y. Persamaan garis tidak akan mempunyai variabel y jika nilai ky pada persamaan 4x + ky = 5 bernilai 0. ky bernilai 0 jika k = 0
      Jadi garis 4x + ky = 5 akan sejajar dengan sumbu y jika k bernilai 0.
    4. Garis 4x + ky = 5 sejajar garis 6x – 9y = 10
      Dua garis akan sejajar jika keduanya memiliki kemiringan yang sama, atau sama-sama sejajar dengan sumbu x, atau sama-sama sejajar dengan sumbu y. Kemiringan garis 6x – 9y = 10 adalah 6/9. Garis 4x + ky = 5 akan sejajar dengan garis 6x – 9y = 10 jika garis 4x + ky = 5 juga memiliki kemiringan 6/9. Kemiringan dari garis 4x + ky = 5 adalah – 4/k, maka:

      Jadi garis 4x + ky = 5 sejajar dengan garis 6x – 9y = 10 jika k bernilai –6.
    5. Garis 4x + ky = 5 mempunyai perpotongan–x dan y sama
      Garis 4x + ky = 5 akan mempunyai perpotongan–x dan y sama jika garis 4x + ky = 5 mempunyai kemiringan –1. Kemiringan dari garis 4x + ky = 5 adalah – 4/k, maka:

      Jadi garis 4x + ky = 5 akan mempunyai perpotongan–x dan y sama jika k = 4
    6. Garis 4x + ky = 5 tegak lurus pada garis y – 2 = 2 (x + 1).
      Dua garis akan saling tegak lurus jika hasil kali kedua kemiringan garis tersebut bernilai –1. Kemiringan dari garis y – 2 = 2 (x + 1) adalah 2. Garis 4x + ky = 5 akan tegak lurus pada garis y – 2 = 2 (x + 1) jika garis 4x + ky = 5 mempunyai kemiringan –1/2, karena hasil kali kedua kemiringan garis akan bernilai –1 jika garis 4x + ky = 5 mempunyai kemiringan –1/2. Kemiringan dari garis 4x + ky = 5 adalah – 4/k, maka:
      Jadi garis 4x + ky = 5 akan tegak lurus pada garis y – 2 = 2 (x + 1) jika k = 8
  25. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 23 oleh sahabat-informasi.com
    Tuliskan persamaan garis yang melalui (0,–4) yang tegak lurus pada garis y + 2 = –½ (x – 1).
    Penyelesaian:
    Garis y + 2 = –½ (x – 1) mempunyai kemiringan –½. Garis yang melalui (0,–4) akan tegak lurus pada garis y + 2 = –½ (x – 1) jika garis tersebut mempunyai kemiringan 2, karena hasil kali kedua kemiringan garis bernilai –1.
    Persamaan garis yang melalui (0,– 4) dengan kemiringan 2 adalah:

    Jadi persamaan garis yang melalui (0,– 4) yang tegak lurus pada garis y + 2 = –½ (x – 1) adalah 2xy – 4 = 0.
  26. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 24 oleh sahabat-informasi.com
    Cari nilai k sedemikian sehingga garis kx – 3y = 10,
    1. Sejajar garis y = 2x + 4;
    2. Tegak lurus garis y = 2x + 4;
    3. Tegak lurus garis 2x + 3y = 6;

    Penyelesaian:
    1. Garis kx – 3y = 10 sejajar dengan garis y = 2x + 4
      Kemiringan dua garis yang sejajar adalah sama,
      Kemiringan garis y = 2x + 4 adalah 2, berarti garis kx – 3y = 10 juga harus mempunyai kemiringan 2, maka:

      Kemiringan dari garis kx – 3y = 10 adalah k/3, k/3 = 2, k = 6
      Jadi k harus bernilai 6 supaya garis kx – 3y = 10 sejajar dengan garis y = 2x + 4
    2. Garis kx – 3y = 10 tegak lurus pada garis y = 2x + 4
      Hasil kali dari kemiringan dua garis yang saling tegak lurus akan bernilai –1.
      Misalkan m1 (k/3)adalah kemiringan untuk garis kx – 3y = 10 dan m2 (2) adalah kemiringan untuk garis y = 2x + 4, maka:

      Jadi k harus bernilai –3/2 supaya garis kx – 3y = 10 tegak lurus pada garis y = 2x + 4
    3. Garis kx – 3y = 10 tegak lurus pada garis 2x + 3y = 6
      Hasil kali dari kemiringan dua garis yang saling tegak lurus akan bernilai –1.
      Cari dulu kemiringan dari garis 2x + 3y = 6,

      Kemiringan dari garis 2x + 3y = 6 adalah –2/3. Misalkan m1 (k/3) adalah kemiringan untuk garis kx – 3y = 10 dan m2 (–2/3) adalah kemiringan untuk garis 2x + 3y = 6, maka:

      Jadi k harus bernilai 9/2 supaya garis kx – 3y = 10 tegak lurus pada garis 2x + 3y = 6
  27. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 25 oleh sahabat-informasi.com
    Apakah (3,9) terletak di atas atau di bawah garis y = 3x – 1?
    Penyelesaian:
    Kita akan mencari koordinat y dengan koordinat x = 3 pada garis y = 3x – 1.

    Didapat garis y = 3x – 1 melalui titik (3,8). Berarti titik (3,9) terletak di atas garis y = 3x – 1
  28. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 26 oleh sahabat-informasi.com
    Buktikan bahwa persamaan garis dengan perpotongan-x adalah a ≠ 0 dan perpotongan-y adalah b ≠ 0 adalah:

    Penyelesaian:
    Garis tersebut memotong sumbu x dan sumbu y tidak di titik (0,0). Misalkan titik pertama (x1,y1) dan titik kedua (x2,y2). Anggap titik pertama perpotongan-x dan titik kedua perpotongan-y, maka (x1,y1) = (a,0) dan (x2,y2) = (0,b)
    Substitusikan nilai koordinat kedua titik ke persamaan!

    Terbukti bahwa persamaan garis dengan perpotongan-x adalah a ≠ 0 dan perpotongan-y adalah b ≠ 0 adalah:
  29. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 27 oleh sahabat-informasi.com
    2x + 3y = 4
    –3x + y = 5
    Penyelesaian:
    Mencari titik potong dari kedua garis

    Didapat titik potong dari kedua garis adalah (–1,2)

    Mencari kemiringan garis pertama

    Kemiringan dari garis 2x + 3y = 4 adalah –2/3
    Anggap g3 adalah garis yang tegak lurus dengan garis pertama, maka kemiringan garis g3 adalah:
    Persamaan garis melalui titik (–1,2) dengan kemiringan 3/2 adalah:

    Jadi persamaan garis yang melalui titik potong dari garis 2x + 3y = 4 dengan garis –3x + y = 5 yang tegak lurus dengan garis 2x + 3y = 4 adalah 3x – 2y + 7 = 0
  30. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 28 oleh sahabat-informasi.com
    4x – 5y = 8
    2x + y = –10
    Penyelesaian:
    Mencari titik potong dari kedua garis

    Didapat titik potong dari kedua garis adalah (– 3,– 4)
    Mencari kemiringan garis pertama

    Kemiringan garis 4x – 5y = 8 adalah 4/5.
    Anggap g3 adalah garis yang tegak lurus dengan garis pertama, maka kemiringan garis g3 adalah:

    Persamaan garis yang melalui titik (– 3, – 4) dengan kemiringan –5/4 adalah:

    Jadi persamaan garis yang melalui titik potong dari garis 4x – 5y = 8 dengan garis 2x + 3y = –10 yang tegak lurus dengan garis 4x – 5y = 8 adalah:
  31. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 29 oleh sahabat-informasi.com
    3x – 4y = 5
    2x + 3y = 9
    Mencari titik potong dari kedua garis

    Didapat titik potong dari kedua garis adalah (3,1)
    Mencari kemiringan garis pertama

    Kemiringan dari garis 3x – 4y= 5 adalah 3/4.
    Anggap garis g3 adalah garis yang tegak lurus dengan garis pertama, maka kemiringan garis g3 adalah:

    Persamaan garis melalui titk (3,1) dengan kemiringan – 4/3 adalah:

    Jadi persamaan garis yang melalui titik potong dari garis 3x – 4y = 5 dengan garis 2x + 3y = 9 adalah 4x + 3y – 15 = 0
  32. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 30 oleh sahabat-informasi.com
    5x – 2y = 5
    2x +3y = 6
    Penyelesaian:
    Mencari titik potong dari kedua garis


    Didapat titik potong dari kedua garis adalah (27/19,20/19)
    Mencari kemiringan dari garis pertama

    Kemiringan dari garis 5x – 2y = 5 adalah 5/2.
    Anggap g3 adalah garis yang tegak lurus dengan garis pertama, maka kemiringan garis g3 adalah:

    Persamaan garis melalui titik (27/19, 20/19) dengan kemiringan –2/5 adalah:

    Jadi persamaan garis yang melalui titik potong dari garis 5x – 2y = 5 dengan garis 2x + 3y = 6 adalah:


  33. Dapat diperlihatkan bahwa jarak d dari titik (x1,y1) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:

    Gunakan hasil ini untuk mencari jarak dari titik yang diberikan ke garis yang diberikan
  34. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 31 oleh sahabat-informasi.com
    (–3,2); 3x + 4y = 6
    Penyelesaian:
    A = 3, B = 4, dan C = – 6

    Jadi jarak dari titik (–3,2) ke garis 3x + 4y = 6 adalah 7/5 satuan panjang
  35. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 32 oleh sahabat-informasi.com
    (4, –1); 2x – 2y + 4 = 0
    Penyelesaian:
    A = 2, B = –2, dan C = 4

    Jadi jarak titik (4, –1) ke garis 2x – 2y + 4 = 0 adalah:
    satuan panjang
  36. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 33 oleh sahabat-informasi.com
    (–2, –1); 5y = 12x + 1
    Penyelesaian:
    A = 12, B = –5, dan C = 1

    Jadi jarak titik (–2, –1) ke garis 5y = 12x + 1 adalah 18/13 satuan panjang.
  37. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 34 oleh sahabat-informasi.com
    (3, –1); y = 2x – 5
    Penyelesaian:
    A = 2, B = –1, dan C = –5

    Jadi jarak titik (3, –1) ke garis y = 2x – 5 adalah:
    satuan panjang
  38. Dalam Soal 35 dan 36, cari jarak (tegak lurus) antara garis-garis sejajar yang diberikan. Petunjuk: Pertama cari sebuah titik pada salah satu garis
  39. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 35 oleh sahabat-informasi.com
    3x + 4y = 6, 3x + 4y = 12
    Mencari sebuah titik pada garis 3x + 4y = 6. Kita ambil saja nilai x = 0 atau y = 0 untuk mempermudah perhitungan, he2... ^_^
    x = 0 maka:

    Didapat salah satu titik yang berada pada garis 3x + 4y = 6 adalah (0, 3/2)

    Mencari jarak dari titik (0, 3/2) ke garis 3x + 4y = 12
    A = 3, B = 4, dan C = – 12

    Jadi jarak garis 3x + 4y = 6 dengan garis 3x + 4y = 12 adalah 6/5 satuan panjang
  40. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 36 oleh sahabat-informasi.com
    5x + 12y = 2, 5x + 12y = 7
    Penyelesaian:
    x = 0 maka:

    Didapat salah satu titik yang berada pada garis 5x + 12y = 2 adalah (0, 1/6)
    Mencari jarak dari titik (0, 1/6) ke garis 5x + 12y = 7
    A = 5, B = 12, dan C = – 7

    Jadi jarak garis 5x + 12y = 2 dengan garis 5x + 12y = 7 adalah 5/13 satuan panjang
  41. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 37 oleh sahabat-informasi.com
    Sebuah bulldozer bernilai $120.000 dan setiap tahun mengalami depresiasi sebesar 8% dari nilai awalnya. Cari sebuah rumus untuk V, yaitu nilai bulldozer setelah t tahun.
    Penyelesaian:
    Besar depresiasi tiap tahun adalah 8% x $120.000 = $9.600
    Nilai bulldozer setelah 1 tahun = $120.000 – 1 x $9.600
    Nilai bulldozer setelah 2 tahun = $120.000 – 2 x $9.600
    Nilai bulldozer setelah 3 tahun = $120.000 – 3 x $9.600

    Nilai bulldozer setelah t tahun = $120.000 – t x $9.600
    Jadi rumus V untuk nilai bulldozer setelah t tahun adalah:
    V = 120.000 – 9.600t
  42. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 38 oleh sahabat-informasi.com
    Grafik dari jawaban untuk Soal 37 berupa sebuah garis lurus. Berapa kemiringannya, dengan anggapan sumbu t- horisontal? Tafsirkan kemiringan tersebut
    Penyelesaian:
    Jika t sebagai sumbu horisontal maka V adalah sumbu vertikalnya, sehingga:
    V = 120.000 – 9.600t

    y = 120.000 – 9.600t
    y = – 9.600t + 120.000
    Jadi kemiringan grafik dari jawaban untuk Soal 37 adalah – 9.600. Tafsirannya adalah setiap t bertambah 1, maka y berkurang sebesar 9.600 atau setiap 1 tahun nilai bulldozer berkurang sebesar $9.600
  43. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 39 oleh sahabat-informasi.com
    Pengalaman menunjukkan bahwa produksi telur di daerah R tumbuh secara linear. Pada tahun 1960 sebanyak 700.000 peti, dan pada tahun 1970 sebanyak 820.000 peti. Tuliskan rumus untuk N, yaitu banyaknya peti telur yang diproduksi n tahun setelah 1960 dan gunakan rumus tersebut untuk meramalkan produksi telur pada tahun 2000.
    Penyelesaian:
    N1960 = 700.000
    N1970 = 820.000
             = 700.000 + 120.000
             = 700.000 + 1 x 120.000
             = 700.000 + ((1970 – 1960)/10) x 120.000

    N1980 = 940.000
             = 700.000 + 240.000
             = 700.000 + 2 x 120.000
             = 700.000 + ((1980 – 1960)/10) x 120.000


    Nn = 700.000 + ((n – 1960)/10) x 120.000
    Jadi rumus untuk N banyaknya peti telur yang diproduksi n tahun setelah 1960 adalah:
    Nn = 700.000 + ((n – 1960)/10) x 120.000

    Dan
    N2000 = 700.000 + ((2000 – 1960)/10) x 120.000
             = 700.000 + (40/10) x 120.000
             = 700.000 + 4 x 120.000
             = 700.000 + 480.000
             = 1.180.000

    Jadi ramalan banyaknya produksi telur pada tahun 2000 adalah 1.180.000 peti.
  44. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 40 oleh sahabat-informasi.com
    Sebuah peralatan yang dibeli hari ini seharga $80.000 akan mengalami depresiasi secara linear sampai suatu nilai sebagai besi tua seharga $2.000 setelah 20 tahun. Tuliskan rumus untuk V, yaitu nilainya setelah n tahun.
    Penyelesaian:
    Misalkan depresiasi kita simbolkan dengan d, maka:

    Besar depresiasi setiap tahun adalah sebesar $3.900, maka rumus V untuk nilainya setelah n tahun adalah:
    V = 80.000 – 3.900n
  45. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 41 oleh sahabat-informasi.com
    Andaikan bahwa laba P yang direalisasikan suatu perusahaan dalam menjual x butir suatu mata dagangan tertentu diberikan oleh P = 450x – 2000 dolar
    1. Berapa nilai P bilamana x = 0. Apa artinya ini?
    2. Cari kemiringan dari grafik persamaan di atas. Kemiringan ini dinamakan keuntungan marjinal. Apa tafsiran ekonominya?
    Penyelesaian:
    1. Jika x = 0, maka:

      Laba bernilai –2000, berarti terjadi kerugian sebesar 2000 dolar. Berapapun banyaknya suatu mata dagangan tertentu tadi terjual, ada atau tidaknya suatu mata dagangan tertentu tadi terjual, biaya sebesar 2000 dolar tetap harus dikeluarkan. Ada suatu biaya yang selalu harus dikeluarkan yang tidak tergantung dari ada atau tidaknya suatu mata dagangan tertentu tadi terjual, yang tidak tergantung dari banyak atau sedikitnya suatu mata dagangan tertentu tadi terjual, salah satu kemungkinannya adalah biaya ini merupakan biaya operasional. Biaya operasional tersebut seperti: biaya sewa tempat, biaya sewa tenaga kerja, dan lain sebagainya.
    2. P = 450x – 2000 atau y = 450x – 2000, maka kemiringan dari grafik persamaan ini adalah 450
      Sahabat tidak ahli dalam bidang ekonomi, jadi mohon maaf tidak tahu apa itu artinya keuntungan marjinal. Tapi kata om google, keuntungan marjinal adalah perubahan keuntungan yang didapatkan atas penjualan ekstra suatu barang atau jasa. Menurut sahabat, keuntungan marjinal di sini adalah keuntungan yang nilai keuntungan per butir dari suatu mata dagangan tersebut akan semakin besar jika suatu mata dagangan tersebut semakin banyak terjual, tetapi keuntungan per butirnya akan selalu di bawah 450 untuk per butinya dan tidak akan pernah mencapai 450, sehingga garis y = 450 akan menjadi asimtot jika dibuatkan grafik dari keuntungan per butir suatu mata dagangan tersebut terhadap banyaknya suatu mata dagangan tersebut terjual.
  46. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 42 oleh sahabat-informasi.com
    Biaya C untuk menghasilkan x butir suatu mata dagangan tertentu diberikan oleh C = 0,75x + 200 dolar. Tanjakan grafiknya dinamakan biaya marginal. Cari tanjakan itu dan berikan tafsiran ekonominya.
    Penyelesaian:
    C = 0,75x + 200, persamaan ini dapat kita ubah menjadi y = 0,75x + 200,
    Maka tanjakannya adalah 0,75.
    Menurut sahabat, biaya marjinal di sini adalah biaya yang mana nilai biaya produksi per butir dari suatu mata dagangan tersebut akan semakin kecil jika suatu mata dagangan tersebut semakin banyak diproduksi, tetapi biaya produksinya selalu di atas 0,75 untuk per butirnya dan tidak akan pernah mencapai 0,75, sehingga garis y = 0,75 akan menjadi asimtot jika dibuatkan grafik dari biaya produksi per butir suatu mata dagangan tersebut terhadap banyaknya suatu mata dagangan tersebut diproduksi
  47. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 43 oleh sahabat-informasi.com
    Buktikan bahwa grafik dari Ax + By + C = 0 selalu berupa sebuah garis (asalkan A dan B keduanya tak 0). Petunjuk: Pandang dua kasus; (1) B = 0 dan (2) B ≠ 0.
    Penyelesaian:
    1. B = 0
      Jika B = 0 maka pastilah A ≠ 0 agar keduanya tidak 0. Jika A ≠ 0, maka persamaan garis akan menjadi:

      Pada sebuah garis pastilah ada koordinat x dan koordinat y. Sementara persamaan garis kita sekarang adalah x = –C/A, dan tidak ada koefisien y pada persamaan garis tersebut, berarti berapapun nilai y nya maka nilai x nya adalah –C/A. Di sinilah kata kuncinya, berapa pun koordinat y nya maka koordinat x nya adalah –C/A, maka tentulah akan terbentuk garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu x, pada x = –C/A.
    2. B ≠ 0
      Jika B ≠ 0, maka ada dua pilihan untuk A agar keduanya tak 0, yaitu A = 0 atau A ≠ 0
      1. A = 0
        Jika A = 0, maka persamaan garis akan menjadi:

        Pada sebuah garis pastilah ada koordinat x dan koordinat y. Sementara persamaan garis kita sekarang adalah y = –C/B, dan tidak ada koefisien x pada persamaan garis tersebut, berarti berapapun nilai x nya maka nilai y nya adalah –C/B. Di sinilah kata kuncinya, berapa pun koordinat x nya maka koordinat y nya adalah –C/B, maka tentulah akan terbentuk garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu y, pada y = –C/B.
      2. A ≠ 0
        Jika A ≠ 0, maka persamaan garis akan menjadi:

        Menurut penjelasan pada halaman 31, maka garis y = –(A/B)x + C/B berarti setiap suatu kenaikan (perubahan tegak) sebanyak –A satuan atau penurunan sebanyak A satuan terjadi run (perubahan mendatar) sebanyak B satuan, jika selalu setiap perubahan tegak sebanyak A satuan terjadi perubahan mendatar sebanyak B satuan, maka tentu akan membentuk sebuah garis lurus.
  48. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 44 oleh sahabat-informasi.com
    Cari persamaan garis yang melalui (2,3) yang mempunyai perpotongan-x dan y sama. Petunjuk: Gunakan Soal 26.
    Penyelesaian:
    Berdasarkan jawaban soal nomor 26, didapat bahwa persamaan garis dengan perpotongan-x adalah a ≠ 0 dan perpotongan-y adalah b ≠ 0 adalah:
  49. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 45 oleh sahabat-informasi.com
    Perlihatkan bahwa untuk tiap nilai k, persamaan:
    2xy + 4 + k(x + 3y – 6) = 0
    menyatakan sebuah garis yang melalui perpotongan dua garis 2xy + 4 = 0 dan x + 3y – 6 = 0. Petunjuk: Tidak perlu mencari titik potong (x0, y0).
    Penyelesaian:
    Untuk menjawab soal ini kita akan menggunakan prinsip penjumlahan dan pengurangan vektor metode jajar genjang.
    Misalkan kita mempunyai dua vektor:
    Untuk menjumlahkan kedua vektor di atas, terlebih dahulu kedua pangkal V1 dan V2 kita hubungkan, kemudian tarik garis bantu yang sejajar dan sepanjang V2 dari ujung ujung V1 dan garis bantu yang sejajar dan sepanjang V1 dari ujung V2, kemudian vektor penjumlahan dari V1 dengan V2 adalah garis dari pertemuan kedua titik pangkal V1 dengan V2 yang melalui pertemuan kedua garis bantu yang telah dibuat, sehingga gambar penjumlahan vektornya adalah sebagai berikut:

    Sampai di sini didapat kesimpulan, 2 vekor yang dijumlahkan maka vektor hasil penjumlahannya pasti akan melalui titik potong kedua vektor tersebut, begitu juga untuk kasus pengurangan, jika V1V2 atau V2V1, maka titik potong hasil pengurangannya juga akan melalui titik potong kedua vektor tersebut, silakan coba saja!. Pada gambar penjumlahan vektor di atas, vektor itu juga dapat kita ganti dengan garis lurus, coba saja perpanjang masing-masingnya ke belakang sehingga berbentuk seperti:

    Jadi kesimpulannya adalah misalkan ada dua garis, garis a dan garis b, maka garis yang merupakan hasil dari penjumlahan garis a dengan garis b (garis a+b) akana melalui titik potong garis a dengan garis b.
    Kembali lagi ke soal:
    Dua garis pada soal adalah 2xy + 4 = 0 (kita anggap sebagai garis pertama) dan x + 3y – 6 = 0 (kita anggap sebagai garis kedua). Garis x + 3y – 6 = 0 jika kita kalikan kedua ruas dengan suatu konstanta maka tidak akan merubah arti, sekarang garis x + 3y – 6 = 0 akan kita kalikan dengan konstanta k. Sehingga garis x + 3y – 6 = 0 sekarang menjadi k(x + 3y – 6) = 0. Jika kita tambahkan garis pertama denga garis kedua kita yang sekarang maka hasilnya adalah:
    2xy + 4 + k(x + 3y – 6) = 0
    Berdasarkan kesimpulan di atas, terbukti bahwa garis 2xy + 4 + k(x + 3y – 6) = 0 melalui perpotongan garis 2xy + 4 = 0 dan x + 3y – 6 = 0
  50. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 46 oleh sahabat-informasi.com
    Cari persamaan garis yang membagi dua ruas garis (–2,1) ke (4, –7) dan yang bersudut siku-siku terhadap ruas garis ini.
    Penyelesaian:
    Pertama kita akan mencari persamaan garis yang titik tengah dari ruas garis (–2,1) ke (4, –7), kemudian mencari kemiringan garis (–2,1) ke (4, –7), maka kemiringan garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah kemiringan yang menghasilkan hasil kali –1 dengan kemiringan garis tadi. Selanjutnya kita akan cari persamaan garis dengan kemiringan yang baru ditemukan yang melalui titik tengah garis (–2,1) ke (4, –7).
    Koordinat x titik tengah dari ruas garis (–2,1) ke (4, –7) adalah (–2+4)/2 = 1, dan koordinat y titik tengah dari ruas garis (–2,1) ke (4, –7) adalah (–7+1)/2= –3. Jadi koordinat titik tengahnya adalah (1,–3).
    Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan dari titik (–2,1) dan (4, –7) adalah:

    Kemiringan ruas garis (–2,1) ke (4, –7) adalah – 4/3, maka kemiringan garis yang tegak lurus terhadap ruas garis (–2,1) ke (4, –7) adalah ¾, karena hasil kali kedua kemiringan garis tersebut bernilai –1.
    Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik dengan kemiringan m mempunyai persamaan:
    yy1 = m (xx1), maka persamaan garis yang melalui titik (1,–3) dengan kemiringan 3/4 adalah:

    Jadi persamaan garis yang membagi dua ruas garis garis (–2,1) ke (4, –7) dan yang bersudut siku-siku terhadap ruas garis ini adalah
  51. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 47 oleh sahabat-informasi.com
    Pusat lingkaran luar suatu segitiga terletak pada garis pembagi dua tegak lurus dari sisi sisi. Gunakan kenyataaan ini untuk mencari pusat lingkaran luar dari segitiga yang titik-titik sudutnya adalah (0,4), (2,0), dan (4,6).
    Penyelesaian:
    Kita akan mencari panjang jari-jari lingkaran dengan memanfaatkan panjang sisi-sisi segitiga. Kemudian mencari persamaan garis yang membagi dua segitiga, dan menemukan titik pusat lingkaran dengan memanfaatkan persamaan garis tersebut tersebut dan panjang jari-jari lingkaran yang telah diketahui.

    Mencari jari-jari lingkaran dengan menggunakan rumus jari-jari lingkaran luar segitiga Berbalik ke bangku SMP/SLTP dulu kita pernah mendapatkan suatu pembuktian rumus untuk mencari panjang jari-jari suatu lingkaran luar segitiga dengan memanfaatkan panjang sisi-sisi segitiga tersebut. Jika panjang sisi-sisi segitiga tersebut kita misalkan dengan a, b, dan c, maka rumus untuk mencari jari-jari lingkaran luar segitiga adalah:

    Panjang ruas garis (0,4) ke (2,0) adalah:

    Panjang ruas garis (0,4) ke (4,6) adalah:

    Panjang ruas garis (2,0) ke (4,6) adalah:

    Dengan mengetahui panjang ketiga sisi-sisi segitiga tersebut, diketahui bahwa dua sisi yang sama panjang adalah ruas garis (0,4) ke (2,0) dan ruas garis (0,4) ke (4,6), garis pembagi duanya adalah garis dari titik (0,4) ke titik tengah ruas garis (2,0) ke (4,6). Titik tengah ruas garis (2,0) ke (4,6) adalah ((2+4)/2,(0+6)/2) = (6/2,6/2) = (3,3). Dengan demikian alas segitiga adalah ruas garis (2,0) ke (4,6) dan tinggi segitiga adalah ruas garis (0,4) ke (3,3).
    Panjang ruas garis (0,4) ke (3,3) atau tinggi segitiga adalah:

    Panjang jari-jari lingkaran adalah:


    Mencari persamaan garis tinggi segitiga/garis pembagi dua segitiga Dalam uraian pada halaman 31 dikatakan bahwa definisi kemiringan dari titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1x2 adalah:

    Jadi kemiringan ruas garis (0,4) ke (3,3) adalah:

    Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik dengan kemiringan m mempunyai persamaan:
    yy1 = m (xx1), maka persamaan garis yang melalui titik (0,4) dengan kemiringan – 1/3 adalah:


    Mencari titik pusat lingkaran dengan memanfaatkan persamaan garis tinggi lingkaran Misalkan titik pusat lingkaran adalah (x,y), maka jarak titik (x,y) ke titik (0,4) adalah sepanjang jari-jari lingkaran yaitu:

    Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik dapat kita buat persamaan sebagai berikut:

    Berdasarkan persamaan garis tinggi segitiga didapat bahwa x = 12 – 3y, maka:

    Didapat koordinat y = 3 atau y = 5 untuk koordinat y titik pusat lingkaran, tentun saja yang dipakai adalah y = 3, karena garis tinggi lingkaran dari titik (0,4) semakin ke kanan semakin ke bawah, sehingga tidak akan mengkin melalui koordinat (x,5).
    Dengan mensubstitusikan y = 3 ke persamaan garis tinggi segitiga didapat:

    Jadi didapat titik pusat lingkaran luar segitiga yang titik-titik sudutnya adalah (0,4), (2,0), dan (4,6) adalah (3,3).
  52. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 48 oleh sahabat-informasi.com
    Andaikata (a,b) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2. Tunjukkan bahwa garis ax + by = r2 menyinggung lingkaran pada (a,b).
    Penyelesaian:
    Lingkaran tersebut berpusat di titik (0,0), maka ruas garis (0,0) ke (a,b) merupakan jari-jari lingkaran. Panjang ruas garis (0,0) ke (a,b) adalah (a2 + b2)1/2. Jadi jari-jari lingkaran adalah (a2 + b2)1/2
    Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik (x1,y1) dengan kemiringan m mempunyai persamaan: yy1 = m (xx1), kita akan ubah bentuk persamaan garis ax + by = r2 sedemikian rupa sehingga berbentuk seperti yy1 = m (xx1)

    Jadi telah ditunjukkan bahwa garis ax + by = r2 adalah garis yang melalui titik (a,b) dengan kemiringan –a/b.
  53. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 49 oleh sahabat-informasi.com
    Tentukan persamaan-persamaan dari dua garis singgung terhadap lingkaran x2 + y2 = 36 yang melalui (12,0). Petunjuk: Lihat Soal 48.
    Penyelesaian:
    CARA I
    Menurut soal no. 48, persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik (a,b) adalah ax + by = r2, maka persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 36 di titik (a,b) adalah ax + by = 36.
    Kita akan ubah persamaan garis ax + by = 36 menjadi bentuk yy1 = m (xx1).

    Sampai di sini didapat bahwa garis singgung salah satunya melalui titik (36/a, 0) dengan kemiringan –a/b, jika kita gambarkan kira-kira akan tampak seperti berikut:

    Karena garis melalui (12,0) maka (36/a,0) = (12,0), sehingga 36/a = 12, a = 3
    Sekarang nilai a sudah diketahui dan jari-jari lingkaran pun sudah diketahui yaitu 6, maka bisa kita cari nilai b,


    Jadi persamaan garis singgung tersebut adalah:


    Karena ada dua garis, maka garis singgung yang satu lagi adalah garis singgung dengan kemiringan yang berlawanan dan menggunakan sumbu x sebagai sumbu simetris antara kedua garis singgung tersebut sehingga garis singgung yang satu lagi cukup dengan mengubah tanda koefisien y pada persamaan garis, jadi persamaan garis singgung yang satu lagi adalah:

    Jadi dua garis singgung lingkaran x2 + y2 = 36 yang melalui titik (12,0) adalah:



    CARA II
    Kita akan mencari kemiringan garis dengan menggunakan trigonometri. Setelah kemiringan garis didapat, kita akan mencari persamaan garis dengan kemiringan garis tersebut melalui titik (12,0)

    Sebagaimana kita ketahui garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan garis jari-jari lingkaran pada titik singgung tersebut, sehingga kita dapat menggunakan sifat trigonometri, pertama kita akan mencari besar sudut θ

    Perhatikan gambar berikut:

    Besar sudut α adalah 90 + (90 – θ) = 90 + (90 – 30) = 90 + 60 = 150o.
    Kemiringan garis juga bisa didapat dari nilai tangen dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x positif.

    Menurut rumus pada halaman 33, garis yang melalui suatu titik dengan kemiringan m mempunyai persamaan:
    yy1 = m (xx1), maka persamaan garis yang melalui titik (12,0) dengan kemiringan
    adalah:

    Karena ada dua garis, maka garis singgung yang satu lagi adalah garis singgung dengan kemiringan yang berlawanan dan menggunakan sumbu x sebagai sumbu simetris antara kedua garis singgung tersebut sehingga garis singgung yang satu lagi cukup dengan mengubah tanda koefisien y pada persamaan garis, jadi persamaan garis singgung yang satu lagi adalah:

    Jadi dua garis singgung lingkaran x2 + y2 = 36 yang melalui titik (12,0) adalah:

  54. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 50 oleh sahabat-informasi.com
    Nyatakan jarak tegaklurus antara garis-garis sejajar y = mx + b dan y = mx dalam bentuk m, b dan B. Petunjuk: Jarak yang diperlukan adalah sama dengan jarak antara y = mx dengan y = mx + Bb.
    Penyelesaian:
    Kita akan mencari sebuah garis yang tegak lurus dengan kedua garis tersebut, kemudian mencari titik potong garis tadi tersebut dengan kedua garis yang sejajar tadi, maka akan didapat dua titik potong, yaitu masing-masingnya pada garis yang sejajar. Setelah itu kita akan mencari jarak antara dua titik potong tersebut, jarak antara kedua titik potong tersebut adalah merupakan jarak tegak lurus antara kedua garis sejajar.
    Garis yang tegak lurus mempunyai kemiringan yang mana hasil kali kemiringan garis dari dua garis yang saling tegak lurus terseut adalah –1, maka garis yang tegak lurus terhadap y = mx + b adalah:

    Didapat titik potong pertama adalah (0, b)


    Persamaan garis y = mx + b sama dengan persamaan garis y = mx + Bb, maka tentu:

    Jadi jarak antara garis-garis sejajar y = mx + b dan y = mx adalah:
  55. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 51 oleh sahabat-informasi.com
    Tunjukkan bahwa garis yang melalui titik tengah dari dua sisi suatu segitiga, sejajar dengan sisi ke tiga. Petunjuk: Anda dapat memisalkan segitiganya mempunyai titik-titik sudut (0,0), (a,0) dan (b,c).
    Penyelesaian:
    Ada tiga pilihan yang dapat kita lakukan untuk membuktikan pernyataan ini:
    1. Mencari persamaan garis dari titik tengah garis yang menghubungkan titik (0,0) – (a,0) dengan titik tengah garis yang menghubungkan titik (0,0) – (b,c) dan membandingkan kemiringannya dengan garis yang menghubungkan titik (a,0) – (b,c).
    2. Mencari persamaan garis dari titik tengah garis yang menghubungkan titik (a,0) – (0,0) dengan titik tengah garis yang menghubungkan titik (a,0) – (b,c) dan membandingkan kemiringannya dengan garis yang menghubungkan titik (0,0) – (b,c).
    3. Mencari persamaan garis dari titik tengah garis yang menghubungkan titik (b,c) – (0,0) dengan titik tengah garis yang menghubungkan titik (b,c) – (a,0) dan membandingkan kemiringannya dengan garis yang menghubungkan titik (0,0) – (a,0).

    Oke kita mulai satu persatu:
    1. Mencari persamaan garis dari titik tengah garis yang menghubungkan titik (0,0) – (a,0) dengan titik tengah garis yang menghubungkan titik (0,0) – (b,c) dan membandingkan kemiringannya dengan garis yang menghubungkan titik (a,0) – (b,c).
      Titik tengah dari garis yang menghubungkan titik (0,0) – (a,0) adalah (a/2,0).
      Titik tengah dari garis yang menghubungkan titik (0,0) – (b,c) adalah (b/2, c/2).
      Kemiringan garis yang menghubungkan titik (a/2,0) dengan (b/2, c/2) adalah:

      Kemiringan garis yang menghubungkan titik (a,0) – (b,c) adalah:

      Didapat bahwa kemiringan garis dari titik tengah garis yang menghubungkan titik (0,0) – (a,0) dengan titik tengah garis yang menghubungkan titik (0,0) – (b,c) adalah sama dengan kemiringan garis yang menghubungkan titik (a,0) – (b,c), maka terbukti bahwa kedua garis itu sejajar, atau telah dibuktikan bahwa garis yang melalui titik tengah dari dua sisi suatu segitiga, sejajar dengan sisi ke tiga.
    2. Mencari persamaan garis dari titik tengah garis yang menghubungkan titik (a,0) – (0,0) dengan titik tengah garis yang menghubungkan titik (a,0) – (b,c) dan membandingkan kemiringannya dengan garis yang menghubungkan titik (0,0) – (b,c).
      Titik tengah dari garis yang menghubungkan titik (a,0) – (0,0) adalah (a/2,0).
      Titik tengah dari garis yang menghubungkan titik (a,0) – (b,c) adalah ((a + b)/2, c/2).
      Kemiringan garis yang menghubungkan titik (a/2,0) dengan ((a + b)/2, c/2) adalah:

      Kemiringan garis yang menghubungkan titik (0,0) – (b,c) adalah:

      Didapat bahwa kemiringan garis dari titik tengah garis yang menghubungkan titik (a,0) – (0,0) dengan titik tengah garis yang menghubungkan titik (a,0) – (b,c) adalah sama dengan kemiringan garis yang menghubungkan titik (0,0) – (b,c), maka terbukti bahwa kedua garis itu sejajar, atau telah dibuktikan bahwa garis yang melalui titik tengah dari dua sisi suatu segitiga, sejajar dengan sisi ke tiga.
    3. Mencari persamaan garis dari titik tengah garis yang menghubungkan titik (b,c) – (0,0) dengan titik tengah garis yang menghubungkan titik (b,c) – (a,0) dan membandingkan kemiringannya dengan garis yang menghubungkan titik (0,0) – (a,0).
      Titik tengah dari garis yang menghubungkan titik (b,c) – (0,0) adalah (b/2, c/2).
      Titik tengah dari garis yang menghubungkan titik (b,c) – (a,0) adalah ((a + b)/2, c/2).
      Kemiringan garis yang menghubungkan titik (b/2, c/2) dengan ((a + b)/2, c/2) adalah:
      Karena kedua titik mempunyai titik koordinat y yang sama, maka garis tersebut pasti sejajar dengan sumbu x
      Kemiringan garis yang menghubungkan titik (0,0) – (a,0) adalah:
      Karena kedua titik mempunyai titik koordinat y yang sama, maka garis tersebut pasti sejajar dengan sumbu x
      Didapat bahwa kemiringan garis dari titik tengah garis yang menghubungkan titik (a,0) – (0,0) dengan titik tengah garis yang menghubungkan titik (a,0) – (b,c) adalah sama dengan kemiringan garis yang menghubungkan titik (0,0) – (b,c), maka terbukti bahwa kedua garis itu sejajar, atau telah dibuktikan bahwa garis yang melalui titik tengah dari dua sisi suatu segitiga, sejajar dengan sisi ke tiga.
  56. Jawaban dan pembahasan soal Kalkulus buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg edisi kelima bab 1 sub bab 6 soal nomor 52 oleh sahabat-informasi.com

    Ada dua pilihan yang dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan ini:
    1. Menggunakan sisi AB dan CD sebagai sisi yang berseberangan
    2. Menggunakan sisi AD dan BC sebagai sisi yang berseberangan

    Pada kesempatan kali ini kita akan menggunakan sisi AB dan CD sebagai sisi yang berseberangan

    Misalkan titik tengah AB adalah E, maka koordinat titik E adalah: ((x1 + x2)/2, y1).
    Misalkan titik tengah CD adalah F, maka koordinat titik F adalah: ((x1 + x2)/2, y2)
    Suatu empat persegi panjang harus memenuhi :
    • Dua sisi yang saling berhadapan sama panjang dan sejajar
    • Dua sisi yang tidak berhadapan saling tegak lurus dan tidak sama panjang


    Mencari panjang AD, EF, AE, dan DF:


    Dua sisi yang saling berhadapan adalah AD dengan EF dan AE dengan DF, pada uraian di atas telah dibuktikan bahwa AD sama panjang dengan EF dan AE sama panjang dengan DF. Jadi terbukti dua sisi yang saling berhadapan sama panjang.
    AD/EF tidak berhadapan dengan AE/DF, pada uraian di atas juga telah dibuktikan bahwa AD/EF tidak sama panjang dengan AE/DF. Jadi terbukti dua sisi yang tidak berhadapan tidak sama panjang

    Mencari persamaan garis AD, EF, AE, dan DF
    Titik A dan D sama-sama mempunyai koordinat x = x1, maka persamaan garis AD adalah x = x1. Titik E dan F sama-sama mempunyai koordinat x = (x1 + x2)/2, maka persamaan garis EF adalah x = (x1 + x2)/2. Titik A dan E sama-sama mempunyai koordinat y = y1, maka persamaan garis AE adalah y = y1. Titik D dan F sama-sama mempunyai koordinat y = y2, maka persamaan garis DF adalah y = y2.
    Garis AD (x = x1) dan garis EF (x = (x1 + x2)/2) sama-sama sejajar dengan sumbu y, maka garis AD (x = x1) dengan garis EF (x = (x1 + x2)/2) adalah dua garis yang sejajar. Garis AE (y = y1) dan garis DF y = y2 sama-sama sejajar dengan sumbu x, maka garis AE (y = y1) dan garis DF (y = y2) adalah dua garis yang sejajar. Jadi terbukti bahwa dua sisi yang saling berhadapan sejajar.
    Garis AD (x = x1) dan garis EF (x = (x1 + x2)/2) sejajar dengan sumbu y, sementara garis AE (y = y1) dan garis DF (y = y2) sejajar dengan sumbu x, maka garis AD (x = x1) / garis EF (x = (x1 + x2)/2) tegak lurus terhadap garis AE (y = y1) / garis DF (y = y2). Jadi terbukti bahwa dua sisi yang tidak berhadapan saling tegak lurus.

    Jadi terbukti bahwa potongan garis yang menghubungkan titik tengah dari sisi-sisi yang berseberangan dari suatu segi empat membentuk empat persegi panjang.

2 komentar:


2007 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher

ada juga pembahsannya berupa e-book

Terima kasih atas informasinya, sebenarnya tujuan utama pembahasan ini dibuat hanyalah sebagai arsip pribadi, supaya gak kena virus filenya dituliskan di blog, hitung2 mungkin juga bisa berguna bagi orang lain, minimal sebagai referensi, tidak ada sedikitpun tujuan untuk komersial dalam bentuk uang atau apapun. Begitu juga tujuan utama dari pembuatan blog ini sebenarnya untuk arsip pribadi, syukur2 bisa berguna bagi orang lain... : )